Ecuaciones funcionales

Las ecuaciones funcionales son ecuaciones en las que tenemos una relación entre una función en un punto o en varios, y sus derivadas o sucesivas evaluaciones.

Pondremos varios ejemplos para que se puedan ver distintas formas de abordar un problema de este tipo:

Encontrar todas las funciones  tales que  (Ecuación Funcional de Cauchy)

Para empezar, como tenemos x e y podemos probar a hacer algunas sustituciones con números.

Lo primero de todo, llamemos  . Entonces es fácil ver que con , obtenemos:

Ahora que sabemos los valores de , podemos probar con :

Parece evidente que si , se cumplirá que  para todo , así que intentemos probarlo por inducción.

    

Así que todas las funciones posibles son   

Observación

Las funciones  que cumplen que  son también , ya que, sea  con , se cumple que

, por lo que  (tenemos que , porque . Se cumple que )

Hallar todas las funciones  tales que .

Sustituyendo x por y obtenemos que:

Encontrar todas las funciones  tales que 

Supongamos que existe una función  tal que .

Entonces, si , se cumple que

Por lo que tenemos que , y además 

Pero entonces, haciendo  en la primera igualdad y  en la segunda, tenemos que , por lo que , contradicción con que .

 Por tanto, no existe ninguna función que cumpla las condiciones del enunciado.